[Algorithm]Minimum Substring Cover

对于给定的字符串s，如果存在子串k，当k重复一定次数n后n * k可以包含s或者和s相等，我们把k叫做s的覆盖子串，其中长度最短的k，其为最小覆盖子串。我们先给结论，对input string s run KMP算法，求得next数组，假设s的长度为len，最小覆盖子串的就为从头开始长度len - next[len]的子串k。
首先我们证明k肯定是覆盖子串，假设next[len] <= len / 2:

也就是说对于长度为len的s，我们有长度为next[len]的公共前后缀s2和s3，那么长度为len - next[len]的s3就是最小覆盖子串，因为我们s3重复的时候其对应的s1前缀肯定会覆盖s2，所以s3是覆盖子串。
假设next[len] > len / 2:

对于长度为len的s，我们有长度为next[len]的公共前后缀s1和s2。那么长度为len - next[len]的s1是覆盖子串，假设我们将s3平移与s2对其，我们有：

• s3.p2 = s2.p1 = s3.p1 = s1
• s3.p3 = s2.p2 = s3.p2 = s1
• ...
• s3.pk = s2.pk-1 = s3.pk-1 = s1

所以s1是s的覆盖子串。结论得证。
下面我们继续证明其为最小的覆盖子串。假设存在比k更短的覆盖子串a，那么s可以表示为 n* a + b，b为a的prefix。那么我们其最长的公共前后缀为(n - 1) * a + b，其长度显然大于 next[len]，因为a.length < k.length = len - next[len]，那么len - a.length > next[len]。但是kmp求的结论一定最长的公共前后缀，所以矛盾。
时间复杂度就是KMP的复杂度，O(n)，代码如下：